Valstybės veikėjas, inžinierius.
Gimė 1885 m. lapkričio 13 d. ūkininko šeimoje Gyvatynės kaime (Utenos aps.).
1904 m. baigė Liepojos gimnaziją, mokydamasis įsitraukė į slaptą lietuvybės veiklą. Tais pačiais metais įstojo į Rygos politechnikumą.
Studijuodamas dalyvavo 1905 m. tautiniame sąjūdyje, 1905 m. gruodžio 4-5 d. buvo Didžiojo Vilniaus seimo narys. Grįžęs į gimtąjį kaimą, slapta skleidė Vilniaus seimo nutarimus, ragindamas žmones versti rusų valdžią ir kurti savą, lietuvišką.
Dėl politinių persekiojimų buvo priverstas bėgti į užsienį, apsistojo tuometinėje Austrijoje–Vengrijoje ir iki 1912 m. ten baigė Lvovo politechnikumą, įgijo inžinieriaus išsilavinimą.
1912 m. grįžo į Lietuvą. Vos grįžęs buvo suimtas, metus praleido kalėjime. I pasaulinio karo metais mobilizuotas į Rusijos armiją, 1915 m. su pagyrimu baigė Irkutsko karo mokyklą. 1918 m. grįžo į Lietuvą ir tapo pirmuoju Utenos apskrities viršininku, kol raudonarmiečių armija apskrities valdžios veiklą nutraukė.
1919 m. stojo savanoriu į Lietuvos kariuomenę ir tarnavo Krašto apsaugos ministerijos skyriaus viršininku.
1922-1924 m. VII, VIII ir IX ministrų kabinetuose buvo krašto apsaugos ministras. Pertvarkė Lietuvos kariuomenę: pakeitė dalinių dislokaciją, aktyviai siekė Klaipėdos krašto išlaisvinimo. Turėjo įtakos (kartu su ministru pirmininku Ernestu Galvanausku), Lietuvai atgaunant Klaipėdos kraštą.
1924-1926 m. X, XI ir XII ministrų kabinetuose dirbo susisiekimo ministru. B. Sližys pradėjo Šventosios uosto statybą ir geležinkelio Šiauliai – Klaipėda tiesimą, gerino sausumos kelius, tiltus, telefono ir pašto ryšius.
1925 m. rugsėjo 28 d. jam buvo suteiktas pulkininko leitenanto laipsnis.
1927-1934 m. dirbo Susisiekimo ministerijoje, buvo Plentų ir vandens kelių valdybos direktoriaus padėjėjas.
1934-1939 m. buvo Klaipėdos uosto direkcijos prezidentas, rūpinosi Klaipėdos uosto išplėtimu ir modernizavimu. Jo veiklos vaisiai – Klaipėda pralenkė apyvarta Rygą ir Taliną, susilygino su Karaliaučiumi.
Nuo 1936 m. ėjo ir Klaipėdos „Ryto“ bendrovės tarybos pirmininko pareigas.
1936 m. pavasarį kaip uosto direktorius leido Klaipėdos jūros skautams – budžiams naujojo uosto saloje įrengti savo prieplauką. 1936 m. gruodžio 14 d. paskirtas Lietuvos buriuotojų sąjungos pirmininku ir ėjo šias pareigas iki 1939 metų.
1938 m. buvo pirmosios lietuvių regatos Baltijos jūroje ties Klaipėda ir Nida vadovas, Klaipėdoje susibūrusio Rotary klubo prezidentas.
1944 m. pasitraukė į Vokietiją, buvo Heidelbergo lietuvių komiteto pirmininku.
1949 m. išvyko į JAV, apsigyveno Brukline. Aktyviai dalyvavo Amerikos lietuvių bendruomenės veikloje, buvo šios bendruomenės apylinkės pirmininkas.
Mirė 1957 m. liepos 20 d. Brukline (JAV).