Mažosios Lietuvos tyrėjas, visuomenės veikėjas, pedagogas.
Gimė 1907 m. sausio 12 d. Vitėje (buv. Klaipėdos priemiestis).
1928 m. baigęs Klaipėdos mokytojų seminariją, mokytojavo Vytauto Didžiojo gimnazijoje ir Mokytojų seminarijoje. Parašė mokomųjų knygų, lietuvių mokykloms vadovėlį „Mano gimtinė Klaipėdos kraštas“. 1935-1938 m. buvo Klaipėdos krašto lietuvių jaunimo draugijų sąjungos „Santara“ pirmininkas. Ryžtingai gynė lietuvininkų interesus. 1938 m. baigė Klaipėdos prekybos institutą, studijas tęsė Paryžiuje.
Prasidėjus II pasauliniam karui, M. Gelžinis su šeima grįžo į Lietuvą. Buvo Šiaulių aukštesnės prekybos mokyklos direktorius. 1940 m. sovietinio saugumo suimtas ir 1941 m. paleistas, kai SSRS ir Vokietija pasikeitė politiniais kaliniais. 1944 m. pasitraukė į Vokietiją. 1945 m. Liubeke tapo pirmuoju Lietuvių gimnazijos direktoriumi. Lietuvos rezistencinio sąjūdžio Vokietijoje atstovas, 1954-1956 m. VLIK-o tarybos narys informacijos reikalams.
1956 m. apsigyvenęs Niujorke (JAV) buvo Mažosios Lietuvos rezistencinio sąjūdžio atstovas VLIK-e. Rašė straipsnius, rūpinosi Mažosios Lietuvos reikalais. Rengė veikalą „The Problems of Lithuania Minor“ (Mažosios Lietuvos problemos). Iš jo studijų bei straipsnių parengta ir 1996 m. išleista didelės apimties knyga „Mūsų gimtinė Mažoji Lietuva“, kurioje be kita ko nagrinėjamos temos „Klaipėda ordino valdžioje (1252-1525)“, „Klaipėdos krašto politinė istorija“ ir kt.
Mirė 1990 m. spalio 14 d. Farmingdale (JAV).