Kunigas.
Gimė 1923 m. sausio 9 d. Tveruose (Plungės r.). Savarankiškai įgijo vidurinį išsilavinimą.
Studijavo Telšių ir Kauno seminarijose. 1950 m. įšventintas kunigu. Dirbo vikaru Veiviržėnuose, Telšiuose, Klaipėdoje. Ten kunigas patyrė nemalonių išgyvenimų, šmeižtą. Būsimasis arkivyskupas L. Pavilionis ir B. Burneikis pastatė bažnyčią, tačiau jiems buvo sukurpta byla. 1961 m. areštuotas ir nuteistas 4 metus kalėti. Iškalėjęs visus 4 metus, buvo ištremtas iš Telšių vyskupijos, vikariavo Kaišiadorių vyskupijoje, Žaslių parapijoje, ir tik po keleto metų sovietų valdžia vėl leido dirbti Telšių vyskupijoje. Tirkšliuose pastatė kleboniją, Kretingoje – modernų bažnyčios bokštą, pats nuliedino varpus.
1988 m. pavasarį B. Burneikis Telšių vyskupo buvo paskirtas dar nesugrąžintos tikintiesiems Klaipėdos Marijos Taikos Karalienės bažnyčios klebonu ir dekanu. Iš Kretingos kiekvieną dieną kunigas važinėjo į Klaipėdą klebonijos remonto, medžiagų kaupimo Marijos Taikos Karalienės bažnyčiai remontuoti reikalais. 1988 m. rudenį sugrąžinus Marijos Taikos Karalienės bažnyčią tikintiesiems, klebonas suorganizavo didžiulę klaipėdiečių talką ir per vieną dieną paruošė ją taip, kad kitą dieną atvykęs Telšių vyskupas Antanas Vaičius galėjo bažnyčią pašventinti ir koncelebruoti šv. Mišias. Kunigas B. Burneikis turėjo nuveikti daugybę darbų, patirti daug rūpesčių ir vargo, kol sovietmečiu buvusi filharmonija vėl tapo bažnyčia su aukštu, vario dengtu bokštu, su gražia freska, spalvotais vitražais, ąžuoliniais suolais, naujais Kryžiaus kelio paveikslais. Klaipėda dėkinga monsinjorui už JAV surastus mecenatus, kurie bažnyčiai padovanojo vargonus, kainavusius daugiau kaip 65 000 JAV dolerių.
Netausodamas sveikatos, nepaisydamas aibės darbų statybose, klebonas kasdien aukojo šv. Mišias, sakė pamokslus, lankė ligonius.
Mirė 1991 m. rugsėjo 10 d. Klaipėdoje. Palaidotas Marijos Taikos Karalienės bažnyčios šventoriuje.